一、初中部分

数学的学习是层级渐进式的，初中的数学基础会直接影响到高中数学的学习效果。

• 繁分式化简分式 ：

\(\cfrac{\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}}{\frac{3}{ac}-\frac{1}{b}+\frac{4}{bc}}=\cfrac{(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c})\times abc}{(\frac{3}{ac}-\frac{1}{b}+\frac{4}{bc})\times abc}=\cfrac{bc+2ac+ab}{3b-ac+4a}\)；同乘

• 除法分配律(分数裂项)

\(①\cfrac{b+c}{a}=\cfrac{b}{a}+\cfrac{c}{a}\)；

\(②\cfrac{a-b}{ab}=\cfrac{1}{b}-\cfrac{1}{a}\)；(分式变形时常用)

• 分子常数化

化为部分分式，也可以理解为使用了变量集中策略，这样的变形在研究函数的单调性，值域等问题时使用频度比较高。

\(①y=\cfrac{2x-1}{x-1}=\cfrac{(2x-2)+1}{x-1}=2+\cfrac{1}{x-1}\)；

\(②y=\cfrac{2x}{x+4}=\cfrac{2}{1+\frac{4}{x}}\)；

\(③y=\cfrac{a^x-1}{a^x+1}=\cfrac{(a^x+1)-2}{a^x+1}=1-\cfrac{2}{a^x+1}\)；

\(④y=\cfrac{2x^2-4x+3}{x-1}=\cfrac{2(x-1)^2+1}{x-1}=2(x-1)+\cfrac{1}{x-1}\)；

实例已知函数\(f(x)=mlnx+x^2-mx\)在\((1，+∞)\)上单调递增，求m的取值范围_______________．

【分析】由函数单调递增，转化为\(f'(x)≥0\)在\((1，+∞)\)上恒成立，然后分离参数得到\(m≤g(x)\)，用均值不等式求新函数\(g(x)\)的最小值即可。

【解答】由题目可知，\(f'(x)≥0\)在\((1，+∞)\)上恒成立，且\(f'(x)\)不恒为零，

则有\(f'(x)=\cfrac{m}{x}+2x-m=\cfrac{2x^2-mx+m}{x}≥0\)在\((1，+∞)\)上恒成立，

即\(2x^2-mx+m≥0\)在\((1，+∞)\)上恒成立，常规法分离参数得到

m≤\(\cfrac{2x^2}{x-1}=\cfrac{2(x-1)^2+4x-2}{x-1}=\cfrac{2(x-1)^2+4(x-1)+2}{x-1}=2(x-1)+\cfrac{2}{x-1}+4\)

由于\(x>1\)，故\(2(x-1)+\cfrac{2}{x-1}+4≥2\sqrt{4}+4=8\)，当且仅当\(x=2\)时取到等号。

故\(m≤8\)，当\(m=8\)时，函数不是常函数，也满足题意，故\(m≤8\)。

• 解方程理论

已知\(ab=8\)，\(a+b=9\)，求\(a\)，\(b\)的值；

分析：\(a\)，\(b\)是方程\(x^2-(a+b)x+ab=0\)的两个根；即\(a\)，\(b\)是方程\(x^2-9x+8=0\)的两个根，用十字相乘法可得，\((x-1)(x-8)=0\)，解得两个根为\(x=1\)或\(x=8\)。

实例已知正项递增等比数列\(\{a_n\}\)满足条件\(a_1a_4=27\)，\(a_2+a_3=12\)，求数列\(\{a_n\}\)的通项公式；

法1：\(a_1^2q^3=27\)①，\(a_1(q+q^2)=12\)②，两式相比，得到\(\cfrac{a_1q^2}{1+q}=\cfrac{9}{4}\)，

则\(a_1=\cfrac{9(1+q)}{4q^2}\)，代入②得到，\(3q^2-10q+3=0\)，

解得\(q=3\)或\(q=\cfrac{1}{3}\)(由于递增，舍去)，代入②得到，\(a_1=1\)，故\(a_n=3^{n-1}\)；

法2：由等比数列性质可知，\(a_2a_3=27\)，\(a_2+a_3=12\)，

则\(a_2\)，\(a_3\)是方程\(x^2-(a_2+a_3)x+a_2a_3=0\)，即方程为\(x^2-12x+27=0\)的两个根，

解得\(a_2=3\)，\(a_3=9\)，或\(a_2=9\)，\(a_3=3\)(舍去)；

则\(a_n=3^{n-1}\).

二、集合和常用逻辑用语

这一部分的高考考察不是很多，也不是很难，但是这一模块的知识往往是后续学习的基础。

⒈动集，如何变化为空集和非空集合？

比如，动集\(A=\{x\mid 2m-1\leq x\leq m+2\}\)，

当\(2m-1>m+2\)时，即\(m>3\)时，集合\(A=\varnothing\)；

当\(2m-1\leq m+2\)时，即\(m\leq 3\)时，集合\(A\neq \varnothing\)；

⒉当题目中出现\(A\subseteq B\)时，往往需要针对\(A\)分类讨论。

例题：已知集合\(A=\{x\mid -3\leq x\leq 4\}\)，\(B=\{x \mid 2m-1 < x < m+1 \}\)，且\(A\cap B=B\)时，则实数\(m\)的取值范围是多少？

分析：由\(A\cap B=B\)得，\(B\subseteq A\)；

①当\(B=\varnothing\)，即\(m+1\leq 2m-1\)，解得\(m\ge 2\)；

②当\(B\neq \varnothing\)时，需要满足\(\left\{\begin{array}{l}{2m-1< m+1}\\{-3\leq 2m-1}\\{m+1\leq 4}\end{array}\right.\)，

解得\(-1\leq m <2\)；

综上，\(m\in [-1，+\infty)\)。

⒊混合组求解时，先解方程再代入不等式验证，要快得多。

混合组\(\left\{\begin{array}{l}{\Delta=4(a+1)^2-4(a^2-1)>0①}\\{-2(a+1)=-4②}\\{a^2-1=0③}\end{array}\right.\)，

如由②得出\(a=1\)，代入其余可以口算验证是满足的，故\(a=1\)；